二阶行列式
三阶行列式
或
即
n阶行列式
n阶行列式中,元素 的余子式和代数余子式的关系:
在n阶行列式中,划去元素
所在的第i行和第j列后剩下的元素组成的n-1阶行列式,称为元素 的余子式,记作 ;在余子式 前加上符号因子 (i,j分别为元素 所在的行号和列号),称为元素 的代数余子式,记作 ,两者关系是
行列式的性质
性质一
行列式中的行与列互换,行列式的值不变性质二
互换行列式的两行(列),行列式的值变号推论一
如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式的值为零性质三
用数k乘以行列式的某一行(列)的各元素,等于用数k乘以此行列式推论二
如果行列式中的某一行(列)的所有元素有公因子,则公因子可以提到行列式的外面推论三
如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则此行列式的值为零性质四
若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第j列的元素都是两数之和:
D= ,则 D= +注意:
+ ,
= +
= + + +推论四
如果行列式中的某一行(列)的每个元素都写成有m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和性质五
将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)的对应的元素上,行列式的值不变
行列式的计算公式
上三角行列式:
= ,
其中,“0”区元素皆为零,同下.
下三角行列式:
=
对角形行列式:
=
次对角形行列式:
⋰ 分块行列式:
= , =
克莱姆法则
如果线性方程组
D=
则线性方程组有唯一解:
注意:有两种情况不能使用克莱姆法则:
- 线性方程中未知量的个数与方程个数不一样
- 未知量个数与方程个数相同,但其系数行列式等于零
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