二阶行列式
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \newline a_{21} & a_{22} \newline \end{vmatrix}$=$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
三阶行列式
$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \newline
a_{21} & a_{22} & a_{23} \newline
a_{31} & a_{32} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}$=$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} \left( i=1,2,3 \right) $
或
$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \newline
a_{21} & a_{22} & a_{23} \newline
a_{31} & a_{32} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}$=$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$
即
$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \newline
a_{21} & a_{22} & a_{23} \newline
a_{31} & a_{32} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}$=$a_{11}$$\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \newline
a_{32} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}-a_{12}$$\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \newline
a_{31} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}+a_{13}$$\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \newline
a_{31} & a_{32} \newline
\end{vmatrix}$
n阶行列式
$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \newline
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots \newline
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}
$=$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} \left( i=1,2,\cdots ,n \right) $
n阶行列式中,元素$a_{ij}$的余子式和代数余子式的关系:####
- 在n阶行列式中,划去元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列后剩下的元素组成的n-1阶行列式,称为元素$a_{ij}$的余子式,记作$M_{ij}$;在余子式$M_{ij}$前加上符号因子$\left( -1 \right)^{i+j}$(i,j分别为元素$a_{ij}$所在的行号和列号),称为元素$a_{ij}$的代数余子式,记作$A_{ij}$,两者关系是
$A_{ij}=\left( -1 \right)^{i+j}M_{ij}$
行列式的性质
性质一
行列式中的行与列互换,行列式的值不变性质二
互换行列式的两行(列),行列式的值变号推论一
如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式的值为零性质三
用数k乘以行列式的某一行(列)的各元素,等于用数k乘以此行列式推论二
如果行列式中的某一行(列)的所有元素有公因子,则公因子可以提到行列式的外面推论三
如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则此行列式的值为零性质四
若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第j列的元素都是两数之和:
D=$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j}+b_{1j} & \cdots & a_{1n} \newline
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j}+b_{2j} & \cdots & a_{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj}+b_{nj} & \cdots & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$,则 D=$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \newline
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1j} & \cdots & a_{1n} \newline
a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2j} & \cdots & a_{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{nj} & \cdots & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$ $ \cdot $注意:$\begin{vmatrix}
a_1+b_1 & a_3+b_3 \newline
a_2+b_2 & a_4+b_4 \newline
\end{vmatrix}$ $\not=$ $\begin{vmatrix}
a_1 & a_3 \newline
a_2 & a_4 \newline
\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
b_1 & b_3 \newline
b_2 & b_4 \newline
\end{vmatrix}$,
$\begin{vmatrix}
a_1+b_1 & a_3+b_3 \newline
a_2+b_2 & a_4+b_4 \newline
\end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix}
a_1+b_1 & a_3 \newline
a_2+b_2 & a_4 \newline
\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
a_1+b_1 & b_3 \newline
a_2+b_2 & b_4 \newline
\end{vmatrix}$
=$\begin{vmatrix}
a_1 & a_3 \newline
a_2 & a_4 \newline
\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
b_1 & a_3 \newline
b_2 & a_4 \newline
\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
a_1 & b_3 \newline
a_2 & 4_4 \newline
\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
b_1 & b_3 \newline
b_2 & b_4 \newline
\end{vmatrix}$ $ \cdot $推论四
如果行列式中的某一行(列)的每个元素都写成有m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和性质五
将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)的对应的元素上,行列式的值不变
行列式的计算公式
上三角行列式:
$\begin{vmatrix}
& & & \ast & \newline
a_{11} & & & \newline
& & a_{22} & \newline
& & & \ddots & \newline
& & 0 & & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$=$ a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} $,
其中,“0”区元素皆为零,同下.下三角行列式:
$\begin{vmatrix}
& & & 0 & \newline
a_{11} & & & \newline
& & a_{22} & \newline
& & & \ddots & \newline
& & \ast & & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$=$ a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} $ $\cdot$对角形行列式:
$\begin{vmatrix}
& & & 0 & \newline
a_{11} & & & \newline
& & a_{22} & \newline
& & & \ddots & \newline
& & 0 & & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$=$ a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} $ $\cdot$次对角形行列式:
$\begin{vmatrix}
& 0 & & \newline
& & & a_{1n} \newline
& & a_{2,n-1} & \newline
& \unicode{x22f0} & & \newline
& a_{n-1,2} & & \newline
a_{n1} & & 0 & \newline
\end{vmatrix}$分块行列式:
$\begin{vmatrix}
a_1 & & a_2 & & 0 & \newline
a_3 & & a_4 & & & \newline
& & & b_1 & & b_2 \newline
& \ast & & b_3 & & b_4 \newline
\end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \newline
a_3 & a_4 \newline
\end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}
b_1 & b_2 \newline
b_3 & b_4 \newline
\end{vmatrix}$,$\begin{vmatrix}
& 0 & & a_1 & & a_2 \newline
& & & a_3 & & a_4 \newline
b_1 & & b_2 & & & \newline
b_3 & & b_4 & & \ast & \newline
\end{vmatrix}$=$\left( -1 \right)^2x2$ $\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \newline
a_3 & a_4 \newline
\end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}
b_1 & b_2 \newline
b_3 & b_4 \newline
\end{vmatrix}$ $\cdot$
克莱姆法则
如果线性方程组 $ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \newline
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \newline
\cdots\cdots \newline
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \newline \end{cases}$,的系数行列式D不等于0,即:
D=$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \newline
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots \newline
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$ $\not=$0,
则线性方程组有唯一解:$x_1=\frac{D_1}{D} $,$ x_2=\frac{D_2}{D} $,$ \cdots $,$ x_n=\frac{D_n}{D}$ $\cdot$
注意:有两种情况不能使用克莱姆法则:
- 线性方程中未知量的个数与方程个数不一样
- 未知量个数与方程个数相同,但其系数行列式等于零
本文链接: https://erik.xyz/2019/09/21/ai-ji-chu-zhi-hang-lie-shi/
版权声明: 本作品采用 知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议 进行许可。转载请注明出处!