二阶行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \newline a_{21} & a_{22} \newline \end{vmatrix}$=$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

三阶行列式

$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \newline
a_{21} & a_{22} & a_{23} \newline
a_{31} & a_{32} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}$=$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} \left( i=1,2,3 \right) $

或

$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \newline
a_{21} & a_{22} & a_{23} \newline
a_{31} & a_{32} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}$=$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

即

$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \newline
a_{21} & a_{22} & a_{23} \newline
a_{31} & a_{32} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}$=$a_{11}$$\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \newline
a_{32} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}-a_{12}$$\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \newline
a_{31} & a_{33} \newline
\end{vmatrix}+a_{13}$$\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \newline
a_{31} & a_{32} \newline
\end{vmatrix}$

n阶行列式

$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \newline
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots \newline
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}
$=$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} \left( i=1,2,\cdots ,n \right) $

n阶行列式中，元素$a_{ij}$的余子式和代数余子式的关系：####

• 在n阶行列式中，划去元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列后剩下的元素组成的n-1阶行列式，称为元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$;在余子式$M_{ij}$前加上符号因子$\left( -1 \right)^{i+j}$(i,j分别为元素$a_{ij}$所在的行号和列号)，称为元素$a_{ij}$的代数余子式，记作$A_{ij}$,两者关系是

$A_{ij}=\left( -1 \right)^{i+j}M_{ij}$

行列式的性质

• 性质一
  行列式中的行与列互换，行列式的值不变

• 性质二
  互换行列式的两行（列），行列式的值变号

• 推论一
  如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零

• 性质三
  用数k乘以行列式的某一行（列）的各元素，等于用数k乘以此行列式

• 推论二
  如果行列式中的某一行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式的外面

• 推论三
  如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值为零

• 性质四
  若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：
  D=$\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j}+b_{1j} & \cdots & a_{1n} \newline
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j}+b_{2j} & \cdots & a_{2n} \newline
  \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
  a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj}+b_{nj} & \cdots & a_{nn} \newline
  \end{vmatrix}$,则 D=$\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \newline
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \newline
  \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
  a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \newline
  \end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1j} & \cdots & a_{1n} \newline
  a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2j} & \cdots & a_{2n} \newline
  \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
  a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{nj} & \cdots & a_{nn} \newline
  \end{vmatrix}$ $ \cdot $

  注意：$\begin{vmatrix}
  a_1+b_1 & a_3+b_3 \newline
  a_2+b_2 & a_4+b_4 \newline
  \end{vmatrix}$ $\not=$ $\begin{vmatrix}
  a_1 & a_3 \newline
  a_2 & a_4 \newline
  \end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
  b_1 & b_3 \newline
  b_2 & b_4 \newline
  \end{vmatrix}$,
  $\begin{vmatrix}
  a_1+b_1 & a_3+b_3 \newline
  a_2+b_2 & a_4+b_4 \newline
  \end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix}
  a_1+b_1 & a_3 \newline
  a_2+b_2 & a_4 \newline
  \end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
  a_1+b_1 & b_3 \newline
  a_2+b_2 & b_4 \newline
  \end{vmatrix}$
  =$\begin{vmatrix}
  a_1 & a_3 \newline
  a_2 & a_4 \newline
  \end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
  b_1 & a_3 \newline
  b_2 & a_4 \newline
  \end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
  a_1 & b_3 \newline
  a_2 & 4_4 \newline
  \end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}
  b_1 & b_3 \newline
  b_2 & b_4 \newline
  \end{vmatrix}$ $ \cdot $

• 推论四
  如果行列式中的某一行（列）的每个元素都写成有m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和

• 性质五
  将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k后加到另一行（列）的对应的元素上，行列式的值不变

行列式的计算公式

• 上三角行列式：

  $\begin{vmatrix}
  & & & \ast & \newline
  a_{11} & & & \newline
  & & a_{22} & \newline
  & & & \ddots & \newline
  & & 0 & & a_{nn} \newline
  \end{vmatrix}$=$ a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} $,
  其中，“0”区元素皆为零，同下.

• 下三角行列式：

  $\begin{vmatrix}
  & & & 0 & \newline
  a_{11} & & & \newline
  & & a_{22} & \newline
  & & & \ddots & \newline
  & & \ast & & a_{nn} \newline
  \end{vmatrix}$=$ a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} $ $\cdot$

• 对角形行列式：

  $\begin{vmatrix}
  & & & 0 & \newline
  a_{11} & & & \newline
  & & a_{22} & \newline
  & & & \ddots & \newline
  & & 0 & & a_{nn} \newline
  \end{vmatrix}$=$ a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} $ $\cdot$

• 次对角形行列式：

  $\begin{vmatrix}
  & 0 & & \newline
  & & & a_{1n} \newline
  & & a_{2,n-1} & \newline
  & \unicode{x22f0} & & \newline
  & a_{n-1,2} & & \newline
  a_{n1} & & 0 & \newline
  \end{vmatrix}$

• 分块行列式：
  $\begin{vmatrix}
  a_1 & & a_2 & & 0 & \newline
  a_3 & & a_4 & & & \newline
  & & & b_1 & & b_2 \newline
  & \ast & & b_3 & & b_4 \newline
  \end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix}
  a_1 & a_2 \newline
  a_3 & a_4 \newline
  \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}
  b_1 & b_2 \newline
  b_3 & b_4 \newline
  \end{vmatrix}$,

  $\begin{vmatrix}
  & 0 & & a_1 & & a_2 \newline
  & & & a_3 & & a_4 \newline
  b_1 & & b_2 & & & \newline
  b_3 & & b_4 & & \ast & \newline
  \end{vmatrix}$=$\left( -1 \right)^2x2$ $\begin{vmatrix}
  a_1 & a_2 \newline
  a_3 & a_4 \newline
  \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}
  b_1 & b_2 \newline
  b_3 & b_4 \newline
  \end{vmatrix}$ $\cdot$

克莱姆法则

如果线性方程组 $ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \newline
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \newline
\cdots\cdots \newline
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \newline \end{cases}$,的系数行列式D不等于0，即：
D=$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \newline
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots \newline
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$ $\not=$0,
则线性方程组有唯一解：$x_1=\frac{D_1}{D} $,$ x_2=\frac{D_2}{D} $,$ \cdots $,$ x_n=\frac{D_n}{D}$ $\cdot$

注意：有两种情况不能使用克莱姆法则：

1. 线性方程中未知量的个数与方程个数不一样
2. 未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零

赏

一只PHP开发的程序猿，偶尔搞搞摄影、画画、写作、顺便睡觉。

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