数学基础知识-行列式

二阶行列式

$\begin{vmatrix} a{11} & a{12} \newline a{21} & a{22} \newline \end{vmatrix}a{11}a{22}-a{12}a{21}$

三阶行列式

$\begin{vmatrix}
a{11} & a{12} & a{13} \newline
a{21} & a{22} & a{23} \newline
a{31} & a{32} & a{33} \newline
\end{vmatrix}a{i1}A{i1}+a{i2}A{i2}+a{i3}A_{i3} \left( i=1,2,3 \right) $

或

$\begin{vmatrix}
a{11} & a{12} & a{13} \newline
a{21} & a{22} & a{23} \newline
a{31} & a{32} & a{33} \newline
\end{vmatrix}a{11}a{22}a{33}+a{12}a{23}a{31}+a{13}a{21}a{32} - a{11}a{23}a{32}-a{12}a{21}a{33}-a{13}a{22}a_{31}$

即

$\begin{vmatrix}
a{11} & a{12} & a{13} \newline
a{21} & a{22} & a{23} \newline
a{31} & a{32} & a{33} \newline
\end{vmatrix}a{11}$\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \newline a_{32} & a_{33} \newline \end{vmatrix}-a_{12}$\begin{vmatrix}
a{21} & a{23} \newline
a{31} & a{33} \newline
\end{vmatrix}+a{13}$$\begin{vmatrix}
a{21} & a{22} \newline
a{31} & a_{32} \newline
\end{vmatrix}$

n阶行列式

$
\begin{vmatrix}
a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \newline
a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots \newline
a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \newline
\end{vmatrix}
a{i1}A{i1}+a{i2}A{i2}+\cdots+a{in}A_{in} \left( i=1,2,\cdots ,n \right) $

n阶行列式中，元素的余子式和代数余子式的关系：

• 在n阶行列式中，划去元素$a{ij}a{ij}M{ij}M{ij}\left( -1 \right)^{i+j}a{ij}a{ij}A_{ij}$,两者关系是

  $A{ij}=\left( -1 \right)^{i+j}M{ij}$

行列式的性质

• 性质一
  行列式中的行与列互换，行列式的值不变

• 性质二
  互换行列式的两行（列），行列式的值变号

• 推论一
  如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零

• 性质三
  用数k乘以行列式的某一行（列）的各元素，等于用数k乘以此行列式

• 推论二
  如果行列式中的某一行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式的外面

• 推论三
  如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值为零

• 性质四
  若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：
  D=$\begin{vmatrix}
  a{11} & a{12} & \cdots & a{1j}+b{1j} & \cdots & a{1n} \newline
  a{21} & a{22} & \cdots & a{2j}+b{2j} & \cdots & a{2n} \newline
  \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
  a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nj}+b{nj} & \cdots & a{nn} \newline
  \end{vmatrix}\begin{vmatrix}
  a{11} & a{12} & \cdots & a{1j} & \cdots & a{1n} \newline
  a{21} & a{22} & \cdots & a{2j} & \cdots & a{2n} \newline
  \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
  a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nj} & \cdots & a{nn} \newline
  \end{vmatrix}\begin{vmatrix}
  a{11} & a{12} & \cdots & b{1j} & \cdots & a{1n} \newline
  a{21} & a{22} & \cdots & b{2j} & \cdots & a{2n} \newline
  \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \newline
  a{n1} & a{n2} & \cdots & b{nj} & \cdots & a_{nn} \newline
  \end{vmatrix} \cdot $

  注意： +,
  =+
  =+++

• 推论四
  如果行列式中的某一行（列）的每个元素都写成有m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和

• 性质五
  将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k后加到另一行（列）的对应的元素上，行列式的值不变

行列式的计算公式

• 上三角行列式：

  $\begin{vmatrix}
  & & & \ast & \newline
  a{11} & & & \newline
  & & a{22} & \newline
  & & & \ddots & \newline
  & & 0 & & a{nn} \newline
  \end{vmatrix} a{11}a{22} \cdots a{nn} $,
  其中，“0”区元素皆为零，同下.

• 下三角行列式：

  $\begin{vmatrix}
  & & & 0 & \newline
  a{11} & & & \newline
  & & a{22} & \newline
  & & & \ddots & \newline
  & & \ast & & a{nn} \newline
  \end{vmatrix} a{11}a{22} \cdots a{nn} \cdot$

• 对角形行列式：

  $\begin{vmatrix}
  & & & 0 & \newline
  a{11} & & & \newline
  & & a{22} & \newline
  & & & \ddots & \newline
  & & 0 & & a{nn} \newline
  \end{vmatrix} a{11}a{22} \cdots a{nn} \cdot$

• 次对角形行列式：

  $\begin{vmatrix}
  & 0 & & \newline
  & & & a{1n} \newline
  & & a{2,n-1} & \newline
  & \unicode{x22f0} & & \newline
  & a{n-1,2} & & \newline
  a{n1} & & 0 & \newline
  \end{vmatrix}$

• 分块行列式：
  = ,

  =

克莱姆法则

如果线性方程组 $ \begin{cases} a{11}x_1 + a{12}x2 + \cdots + a{1n}xn = b_1 \newline
a{21}x1 + a{22}x2 + \cdots + a{2n}xn = b_2 \newline
\cdots\cdots \newline
a{n1}x1 + a{n2}x2 + \cdots + a{nn}xn = b_n \newline \end{cases}\begin{vmatrix}
a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \newline
a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \newline
\vdots & \vdots & & \vdots \newline
a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \newline
\end{vmatrix}\not=x_1=\frac{D_1}{D} x_2=\frac{D_2}{D} \cdots x_n=\frac{D_n}{D}\cdot$

注意：有两种情况不能使用克莱姆法则：

1. 线性方程中未知量的个数与方程个数不一样
2. 未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零